На каких основаниях подается апелляция после выселения из квартиры?

Добрый день.

В каком порядке они выселили Вас? Если было судебное решение, то его следует обжаловать, в порядке, установленном гл. 39 ГПК РФ.

В частности, в соответствии со ст. 321 ГПК РФ,

апелляционные жалоба, представление подаются через суд, принявший решение. Апелляционные жалоба, представление, поступившие непосредственно в апелляционную инстанцию, подлежат направлению в суд, вынесший решение, для дальнейших действий в соответствии с требованиями статьи 325 настоящего Кодекса.
Апелляционные жалоба, представление могут быть поданы в течение месяца со дня принятия решения суда в окончательной форме, если иные сроки не установлены настоящим Кодексом.