Имеет ли право ЖЭУ забирать испорченную им вещь взамен на компенсацию?

Здравствуйте, Елизавета. Вы имеет право написать им претензию рукводствуясь нижеуказанными статьям:

В соответствии со ст.1064 Гражданского кодекса РФ вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.

В соответствии с п.п.1, 9 ст. 161 Жилищного кодекса РФ управление многоквартирным домом должно обеспечивать благоприятные и безопасные условия проживания граждан, надлежащее содержание общего имущества в многоквартирном доме, решение вопросов пользования указанным имуществом, а также предоставление коммунальных услуг гражданам, проживающим в таком доме.

Согласно ч.2 ст.162 Жилищного кодекса РФ по договору управления многоквартирным домом одна сторона (управляющая организация) по заданию другой стороны (собственников помещений в многоквартирном доме, органов управления товарищества собственников жилья, органов управления жилищного кооператива или органов управления иного специализированного потребительского кооператива либо в случае, предусмотренном ч.14 ст.161 настоящего Кодекса, застройщика) в течение согласованного срока за плату обязуется оказывать услуги и выполнять работы по надлежащему содержанию и ремонту общего имущества в таком доме, предоставлять коммунальные услуги собственникам помещений в таком доме и пользующимся помещениями в этом доме лицам, осуществлять иную направленную на достижение целей управления многоквартирным домом деятельность.

И суд будет на вашей стороне вы взыщете с них нанесенный вам ущерб. Так же попросите УК разъяснить на каком основании они требуют поврежденные вещи. Так как в ГК РФ я такой нормы не нашел.